【SPOJ419】Transposing is Fun

题意：给你一个$2^a\times2^b$的矩阵，将$1...n$中的数依次从左到右，从上往下填到矩阵里，再把矩阵转置，然后把所有数从左到右，从上往下拿出来得到一个新的排列$A$。你现在每次可以交换两个数，问你从$1...n$变成排列$A$最少要进行多少次操作。

询问次数$\le400000,a+b\le 10^6$

题解：首先我们可以找到所有的循环节，如果一个循环节中有$x$个数，需要交换$x-1$次。所以我们只需要求出循环节的个数$k$，那么答案就是$2^{a+b}-k$。

如何求出循环节的个数呢？假设$a=5,b=3$，考虑元素$(12,1)$，其二进制表示为$(01010,001)$，它原来的位置是$01010 001$，新位置是$001 01010$。相当于将每个数的位置二进制向右移动$b$位。

所以，我们可以令$gcd(a,b)=g$，将$g$个数分成一组，相当于用$2^g$种颜色去染$a+b\over g$个珠子，就又变成了POJ2154。

#include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       using namespace std;typedef long long ll;const ll P=1000003;const int N=2000000;int T,a,b,n,m,g,num;ll ans;ll pw[N+10];int cnt[100],p[100];int phi[N+10],np[N+10],pri[N],xp[N+10],mn[N+10];inline ll pm(ll x,int y){    ll z=1;    while(y)    {        if(y&1) z=z*x%P;        x=x*x%P,y>>=1;    }    return z;}int gcd(int a,int b){    return (!b)?a:gcd(b,a%b);}void dfs(int x,int d){    if(x==m+1)    {        ans=(ans+pw[g*d]*phi[n/d])%P;        return ;    }    for(int i=0;i<=cnt[x];i++,d*=p[x])  dfs(x+1,d);}inline void init(){    phi[1]=1;    int i,j,p;    for(pw[0]=i=1;i<=N;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%P;    for(i=2;i<=N;i++)    {        if(!np[i])  pri[++num]=i,mn[i]=i,xp[i]=1,phi[i]=i-1;        for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=N;j++)        {            p=pri[j],np[i*p]=1,mn[i*p]=p;            if(i%p==0)            {                phi[i*p]=phi[i]*p,xp[i*p]=xp[i]+1;                break;            }            phi[i*p]=phi[i]*(p-1),xp[i*p]=1;        }    }}inline void work(){    scanf("%d%d",&a,&b),ans=m=0;    if(!a||!b)    {        puts("0");        return ;    }    g=gcd(a,b),n=(a+b)/g;    int t=n;    while(t!=1)    {        p[++m]=mn[t],cnt[m]=xp[t];        while(mn[t]==p[m])  t/=p[m];    }    dfs(1,1);    printf("%lld\n",(pw[a+b]-ans*pm(n,P-2)%P+P)%P);}int main(){    init();    scanf("%d",&T);    while(T--)  work();    return 0;}//1 2 30000